1．测量真值估计

　　在实际工程测量中，测量次数n不可能无穷大，而测量其值X0通常也不可能已知。根据对已消除系统误差的有限次等精度测量数据样本X1、X2、…，Xi、…，Xn，求其算术平均值，即

 　　　　　　　　　　　　　（1）

　　是被测参量真值X0（或数学期望μ）的**估计值，也是实际测量中比较容易得到的真值近似值。

　　2．测量值的均方根误差估计

　　对已消除系统误差的一组n个（有限次）等精度测量数据X1、X2、…，Xi、…，Xn，采用其算术平均值近似代替测量真值X0后，总会有偏差，偏差的大小，目前常使用贝塞尔（Besse1）公式来计算

　　　　　（2）

式中，Xi为第i次测量值；n为测量次数，这里为一有限值；为全部n次测量值的算术平均值，简称测量均值；Vi为第i次测量的残差；Vi为标准偏差σ的估计值，亦称实验标准偏差。

　　3．算术平均值的标准差

　　严格地讲，贝塞尔公式只有当n→∞时，=σ、=X0=μ才成立。

　　可以证明（详细证明参阅概率论或误差理论中的相关部分）算术平均值的标准差为

　　　　　　　　　　　（3）

　　在实际工作中，测量次数n只能是一个有限值，为了不产生误解，建议用算术平均值的标准差和方差的估计值（）与（）来代替式（的σ（）与σ2（）。

　　以上分析表明，算术平均值的方差仅为单次测量值Xi方差的１／n，也就是说，算术平均值x的离散度比测量数据Xi的离散度要小。所以，在有限次等精度重复测量中，用算术平均值估计被测量值要比用测量数据序列中任何一个都更为合理和可靠。

　　式（3）还表明，在n较小时，增加测量次数n，可明显减小测量结果的标准偏差，提高测量的精密度。但随着n的增大，减小的程度愈来愈小；当n大到一定数值时（）就几乎不变了。另外，增加测量次数凡不仅数据采集和数据处理的工作量迅速增加，而且因测量时间不断增大而使“等精度”的测量条件无法保持，由此产生新的误差。所以，在实际测量中，对普通被测参量，测量次数n 一般取4～24次。若要进一步提高测量精密度，通常需要从选择精度等级更高的测量仪器，采用更为科学的测量方案、改善外部测量环境等方面入手。

　　4．（正态分布时）测量结果的置信度

　　由上述可知，可用测量值Xi的算术平均值作为数学期望μ的估计值，即真值X0的近似值。的分布离散程度可用贝塞尔公式等方法求出的重复性标准差（标准偏差的估计值）来表征，但仅知道这些还是不够的，还需要知道真值X0落在某一数值区间的“肯定程度”，即估计真值凰能以多大的概率落在某一数值区间。

　　以上就是数理统计学中数值区间估计问题。该数值区间称为置信区间，其界限称为置信限。该置信区间包含真值的概率称为置信概率，也可称为置信水平。这里置信限和置信概率综合体现测量结果的可靠程度，称为测量结果的置信度。显然，对同一测量结果而言，置信限愈大，置信概率就愈大；反之亦然。

　　对于正态分布，由于测量值在某一区间出现的概率与标准差σ的大小密切相关，故一般把测量值Xi与真值X0（或数学期望μ）偏差戈的置信区间取为σ的若干倍，即

　　x=±kσ　　　　　　　　　　　　　　（4）

　　式中，k为置信系数（或称置信因子），可被看作是描述在某一个置信概率情况下，标准偏差σ与误差限之间的一个系数。它的大小不但与概率有关，而且与概率分布有关。

　　对于正态分布，测量误差x落在某区间的概率表达式

　　（5）

　　为表示方便，这里令δ=△x-μ则有

（6）

　　置信系数k值确定之后，则置信概率便可确定。由式（6），当k分别选取1、2、3时，即测量误差x分别落入正态分布置信区间±σ、±2σ、±3σ的概率值分别如下：

图2　为上述不同置信区间的概率分布示意图。

图2　不同置信区间的概率分布示意图